三角函数、解三角形与复数

考虑和差化积公式或者辅助角公式。

这里用辅助角公式：$f(x)$ 可以变为 $\sqrt{13} \sin (x + \varphi)$，其中 $\cos \varphi = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$，$\sin \varphi = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$。

$f(x_1) = f(x_2)$，即 $\sin (x_1 + \varphi) = \sin (x_2 + \varphi)$，有 $x_1 + \varphi = x_2 + \varphi + 2k\pi \ (k \in \bf{Z})$ 或 $x_1 + \varphi + x_2 + \varphi = \pi + 2k\pi \ (k \in \bf{Z})$。

由于 $x_1 - x_2 \neq 2n\pi,\ n \in \bf{Z}$，所以 $x_1 + x_2 = \pi + 2k\pi - 2\varphi \ (k \in \bf{Z})$。

于是

$$\begin{aligned} \sin(x_1 + x_2) &= \sin(\pi + 2k\pi - 2\varphi) \\ &= \sin 2\varphi \\ &= 2\sin \varphi \cos \varphi \\ &= 2 \times \frac{3}{\sqrt{13}} \times \frac{2}{\sqrt{13}} \\ &= \frac{12}{13} \end{aligned}$$

$$g(x) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 1 \implies f(x) = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1 = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$$

考虑到 $x \in [0, m]$，那么令 $t = 2x + \dfrac{\pi}{3} \in \left[\dfrac{\pi}{3}, 2m + \dfrac{\pi}{3}\right]$。

要有 $2$ 个零点，即 $\sin t = -1$，得 $t = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \ (k \in \bf{Z})$。

由 $y = \sin t$ 的图象得，要包含 $\dfrac{\pi}{3}$ 后的第二个满足 $\sin t = -1$ 的 $t$，但不能包含第三个 $\sin t = -1$ 的 $t$。即包含 $t_1 = \dfrac{7\pi}{2}$，但不包含 $t_2 = \dfrac{11\pi}{2}$。

有约束条件：

$$\begin{cases} 2m + \dfrac{\pi}{3} \geq \dfrac{7\pi}{2} \\[0.5em] 2m + \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{11\pi}{2} \end{cases} \implies \frac{19\pi}{12} \le m < \frac{31\pi}{12}$$

即实数 $m$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{19\pi}{12},\dfrac{31\pi}{12}\right)$。

由正弦定理，在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 中，分别有：

$$\begin{cases} \dfrac{CD}{\sin A} = \dfrac{AD}{\sin \angle ACD} \\[1em] \dfrac{CD}{\sin B} = \dfrac{BD}{\sin \angle BAD} \\ \end{cases}$$

又 $CD$ 平分 $\angle ACB$，得 $\angle ACD = \angle BAD \implies \sin \angle ACD = \sin \angle BAD$。

从而解得 $\sin A = 2\sin B$。

代入 $\sin A =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得 $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$。

由 $c > a > b$ 得 $C > A > B$，故 $B$ 为锐角，从而 $\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \dfrac{\sqrt{13}}{4}$。

则 $\sin C = \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{39} + \sqrt{3}}{8}$。

因此，$\sin C = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{8}$。

一、求 $\min$，用基本不等式即可。

因为 $\dfrac{(b+c)^2}{bc} = \dfrac{b^2 + c^2 + 2bc}{bc} = \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} + 2 \geq 2 + 2 = 4$，当且仅当 $b = c$ 时取等。

所以 $\dfrac{(b+c)^2}{bc}$ 的最小值为 $4$。

二、求 $\max$，边的条件已尽，只能找角。思考高和底边要如何利用，一个想法是通过面积倒角。

因为 $AM \bot BC$，$AM = \dfrac{3}{4} a$，所以 $S_{\triangle ABC} = \dfrac12 AM \cdot BC$，且 $S_{\triangle ABC} = \dfrac12 bc \sin A$。

可得 $\dfrac{3}{4} a^2 = bc \sin A \quad (1)$。

找到了一个等量关系，思考有什么公式同时有 $a^2, bc$，考虑余弦定理。

在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理得 $b^2 + c^2 - a^2 = 2 bc \cos A$。

代入 $(1)$ 式，整理得

$$b^2 + c^2 = bc\left(\frac{4}{3} \sin A + 2 \cos A\right)$$

因此，

$$\begin{aligned} \frac{(b+c)^2}{bc} &= \frac{4}{3} \sin A + 2 \cos A + 2 \\ &= \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2^2} \sin(A + \varphi) + 2 \\ &= \frac23 \sqrt{13} \sin(A + \varphi) + 2 \\ &\leq \frac23 \sqrt{13} + 2 \end{aligned}$$

当且仅当 $\sin(A + \varphi) = 1$ 时取等。

对于 $x\sin A + y\cos A$ 的形式，最便捷的方法是使用辅助角公式。

即 $\dfrac{(b+c)^2}{bc}$ 的最大值为 $\left(\dfrac23 \sqrt{13} + 2\right)$。

三、总结

综上，$\dfrac{(b+c)^2}{bc}$ 的最大值为 $\left(\dfrac23 \sqrt{13} + 2\right)$，最小值为 $4$。