解析几何

已知直线方程 $Ax + By + C = 0$，求点 $P(x_0, y_0)$ 的距离。

1. 在直线上任取一点 $M(x, y)$，满足 $Ax + By = -C$。
2. 直线的法向量为 $\bm{n} = (A, B)$。
3. 向量 $\overrightarrow{MP} = (x_0 - x, y_0 - y)$。
4. 代入公式：

   $$\begin{aligned} d &= \frac{|\overrightarrow{MP} \cdot \bm{n}|}{|\bm{n}|} \\ &= \frac{|A(x_0 - x) + B(y_0 - y)|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ &= \frac{|Ax_0 + By_0 - (Ax + By)|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ &= \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \quad (\text{考虑 } Ax + By = -C ) \end{aligned}$$

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

考虑 $E$ 的左焦点 $F'$，设 $QF = m$，$RF = n$，有：

$$3m = 5n \quad (1)$$

连接 $PF', QF'$，由椭圆对称性易得四边形 $PF'QF$ 为平行四边形。

所以 $PF' // \ FQ$，所以 $\angle FPF' = \angle QFR = 60\degree$。

考虑椭圆的第一定义，可得 $|PF| = |QF'| = 2a - |QF| = 2a - m$，$|RF'| = 2a - |RF| = 2a - n$。

考虑 $\triangle PFF'$ 和 $\triangle PF'R$：

$$\begin{cases} |PF| = 2a - m,\ |PF'| = m,\ |FF'| = 2c,\ \angle FPF' = 60\degree \\ |PF'| = m,\ |PR| = 2a - m + n,\ |RF'| = 2a - n,\ \angle RPF' = 60\degree \end{cases}$$

使用余弦定理：

$$\begin{aligned} &\begin{cases} |PF|^2 + |PF'|^2 - |FF'|^2 = 2 \cdot |PF| \cdot |PF'| \cdot \cos\angle FPF' \\ |PF'|^2 + |PR|^2 - |RF'|^2 = 2 \cdot |PF'| \cdot |PR| \cdot \cos\angle RPF' \end{cases} \\ \implies & \begin{cases} (2a-m)^2 + m^2 - (2c)^2 = (2a-m) \cdot m \\ m^2 + (2a-m+n)^2 - (2a-n)^2 = m(2a-m+n) \end{cases} \\ \implies & \begin{cases} 4a^2 - 6am + 3m^2 - 4c^2 = 0 \quad &(2) \\ 3m^2 - 6am - 3mn + 8an = 0 \quad &(3) \end{cases} \end{aligned}$$

将 $(1)$ 代入 $(3)$：

$$\begin{aligned} 3m^2 - 6am - 3m \cdot \frac{3}{5}m + 8a \cdot \frac{3}{5}m &= 0 \\ 15m - 30a - 9m + 24a &= 0 \\ m &= a \quad (4) \end{aligned}$$

将 $(4)$ 代入 $(2)$：

$$\begin{aligned} 4a^2 - 6a^2 + 3a^2 - 4c^2 &= 0 \\ a^2 &= 4c^2 \\ e^2 = \left(\frac{c}{a}\right)^2 &= \frac{1}{4} \\ e &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

所以 $E$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$。