空间向量与立体几何

空间向量

共线向量定理：对于空间任意两个向量 $\vec{a}, \vec{b}(\vec{b} \neq \vec{0})$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$，使得 $\vec{a} ~//~ \lambda\vec{b}$。

共面向量定理：若两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，则向量 $\vec{p}$ 与向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 $(x,y)$，使得 $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$。

• 推论：空间中的一点 $P$ 与不共线的三点 $A, B, C$ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数组 $\{x, y, z\}$，使得 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ 且 $x+y+z = 1$，其中 $O$ 为空间任意一点。

夹角：对于两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$，$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ 为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角。

• 取值：$[0, \pi]$。

  • 若 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = 0$，两向量同向共线；
  • 若 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \pi$，两向量反向共线；
  • 若 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \pi / 2$，两向量垂直，即 $\vec{a}~\bot~\vec{b}$。

数量积：两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的数量积为 $\vec{a}\cdot\vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$。零向量与任何向量的数量积为 $0$。

• $\vec{a}\cdot\vec{a} = \lvert \vec{a} \rvert^2$
• $\lvert \vec{a}\cdot\vec{b} \rvert \leq \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$ 恒成立
• $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \iff \vec{a}~\bot~\vec{b}$
• $x(\vec{a}\cdot\vec{b}) = (x\vec{a})\cdot\vec{b}$
• $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$
• $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$

投影向量：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\dfrac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} \cdot \vec{b}$。

立体几何